2022年西北师范大学数学与统计学院同等学力加试科目《微分几何》考试大纲及参考书目 正文

一、考核要求
理解曲线论和曲面中的一些基本概念，准确掌握研究微分几何的常用方法和基本结论。能够以此为基础研究现代微分几何学，能够理论联系实际、分析和解决实际几何问题。
二、考核要点
第一章考核曲线论的基本概念、基本公式和基本方法；第二章考核正则参数曲面的概念，曲面的第一、二基本形式，曲面的各种曲率、曲面上的各种方向和对应曲线，特殊曲面的几何意义和几何特征；第三章考核等距对应和共形对应的基本概念，测地曲率的计算，测地线方程和基本性质，Gauss-Bonnet公式及重要结论，特殊曲面，理解测地曲率和测地线是内蕴几何概念，了解协变微分。
三、考核内容
第一章曲线论
第一节曲线的概念
第二节Frenet标架
第三节空间曲线的曲率和挠率
第四节曲线轮的基本定理
第五节密切曲面
第六节特殊曲线

说明：掌握曲线的概念，空间曲线的基本三棱形，曲率挠率和Frenet公式。掌握特殊曲线：平面曲线，一般螺线。掌握曲线上一点邻近的结构和空间曲线论的基本定理。
第二章曲面论
第一节正则曲面的概念
第二节曲面的第一基本形式
第三节曲面的第二基本形式
第四节法曲率与Weingarten变换
第五节主曲率、Gauss曲率和平均曲率
第六节渐近方向与渐近线、主方向与曲率线
第七节特殊曲面
第八节曲面论的基本定理
说明：掌握正则参数曲面的概念，掌握并能熟练计算曲面的第一基本形式、曲面的第二基本形式、各种曲率，理解曲面上的特殊方向（指渐近方向和主方向）和特殊曲线（指渐近线和曲率线）的几何意义。掌握可展曲面的几何意义和几何特征，懂得Gauss曲率是内蕴量，理解曲面论的基本定理。

第三章 曲面的内蕴几何
第一节等距对应与共形对应
第二节测地曲率与测地线
第三节Gauss-Bonnet公式
第四节协变微分
第五节常高斯曲率的曲面
说明：理解等距对应的意义。熟练掌握测地曲率的计算，掌握测地线的方程和基本性质。熟记Gauss-Bonnet公式及几个重要推论。了解协变微分是欧氏平面上普通导数概念在曲面上的推广。理解测地曲率和测地线是内蕴几何概念。掌握常高斯曲率曲面。

四、参考书目
1. 陈维桓编著，《微分几何》，北京大学出版社，2006年.
2. 苏步青，胡和生等，《微分几何》，高等教育出版社，1994年.
3. 梅向明,黄敬之编,《微分几何》（第四版），高等教育出版社，2008年.

西北师范大学

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