硕士研究生入学考试大纲

    考试科目名称:泛函分析

    一、援引教材

    《泛函分析》第二版高等教育出版社江泽坚孙善利编

    二、考试要求

    要求考生全面系统地掌握泛函分析的基本概念及基本定理，并且能灵活运用，具备较强的分析问题与解决问题的能力。

    三、考试内容

    （一）距离线性空间

    1．距离线性空间的定义，常见的距离线性空间的距离定义及其性质。

    2．距离空间中的拓扑涵义，可分空间。

    3．Cauchy序列的性质，距离空间的完备性。

    4．列紧集，完全有界集的定义及它们之间的关系。

    5．赋范线性空间定义；范数与距离的关系；有限维赋范线性空间的结构。

    6．赋范线性空间上的线性算子及有界线性算子的定义、性质与计算方法。

    7．常见空间以及等空间中距离与范数之间的定义及关系。掌握这些空间的可分性，完备性及拓扑性质。

    8．压缩映射定义，掌握压缩映象原理，并能熟练的应用定理解决问题。了解压缩映象原理在理论上的典型应用。

    （二）Hilbert空间

    1．内积空间的定义，性质；内积与范数、距离之间的关系。

    2．赋范线性空间成为内积空间的条件，常见赋范线性空间是否成为内积空间的判别。

    3．掌握内积空间的定义及其性质。

    4．Hilbert空间的定义；Hilbert空间上的正规正交基，正规正交分解；

    5．掌握并熟练运用Bessel不等式、Schwarz不等式及Parseval公式。

    6．掌握可分Hilbert空间的结构。

    7．掌握射影定理，理解其涵义，并能加以应用；掌握表现定理，Hilbert空间上的线性泛函的表示。

    8．Hilbert共轭算子的定义、性质及其表示；可分Hilbert空间上有界线性算子的矩阵表达式。

    （三）Banach空间及Banach空间上的有界线性算子

    1.Banach空间上的有界线性算子定义；算子范数的计算；范数的比较。

    2.有界线性算子空间的性质。

    3.算子的逆，逆算子存在、连续的条件；利用逆算子解决一些积分方程等方面的实际问题。

    4.Hahn-Banach定理；扩张定理的几种表现形式，如Banach扩张定理、Bohnenblust-Sobczyk定理等。

    5.Hahn-Banach定理的一些推论，体现的不同侧面的Hahn-Banach定理的具体表现形式；Hahn-Banach定理的几何形式。Hahn-Banach定理在理论及实际上的应用。

    6.分离定理，及其与Hahn-Banach定理之间的关系。

    7.Baire纲定理；第一纲集、第二纲集的定义与分类。

    8.一致有界原理（共鸣定理）；开映射定理；Banach逆算子定理；闭图形定理以及它们的应用。

    9.对偶空间的定义，几个具体空间上的对偶空间及它们的连续泛函形式，如

    等。

    10.二次对偶、典型映射、自反空间的定义；有限维赋范线性空间、、Hilbert空间的自反性质。了解常见的不是自反空间的例子。

    11.Banach共轭算子的定义、性质及其矩阵表示。

    12.算子的值域、零空间、商空间的定义与它们之间的关系。

    （四）有界线性算子谱论

    1.有界线性算子的预解式与谱的定义及其计算。

    2.掌握谱半径公式，应用公式解决问题。

    3.射影算子的定义；有界线性算子的不变子空间与约化子空间；F.Riesz空间分解定理。

    4.紧算子的定义及其性质；紧算子的实例；紧算子与理想的关系。

    5.Riesz-Schauder理论：F.Riesz定理；两择一定理；Fredholm交替定理等定理内容与应用。

    6.有界自伴算子的基本性质；紧自伴算子的定义与性质；酉算子的定义与性质。

    7.有界自伴算子的谱测度，谱分解定理与函数演算。

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