2021集美大学高等代数研究生考试大纲 正文

考试科目代码：[805]

考试科目名称：高等代数

 

一、考核目标

（一）考查考生对高等代数的基本概念、主要理论、重要方法的理解与掌握程度。

（二）考查考生的数学抽象思维、逻辑推理及运算求解能力，提高分析问题、解决问题能力。

 

二、试卷结构

（一）考试时间：180分钟，满分：150分。

（二）题型结构

1、填空题：6小题，每小题5分，共30分。

2、解答题（含证明题）：7小题，每小题15或20分，共120分。

 

三、答题方式

闭卷笔试。

 

四、考试内容

注：以下各章分值为参考分，允许有5分的上下浮动。

（一）多项式，20分

考试内容：

整除理论、因式分解理论、根的理论。

考试要求：

1、理解带余除法、整除、最大公因式、互素、重因式、根等有关结论。

2、掌握互素的证明、不可约的判别、综合除法、最大公因式、重因式、标准分解式与有理根的求法。

3、了解矩阵或线性变换的多项式。

（二）行列式与线性方程组，20分

考试内容：

行列式的计算、线性方程组解的理论。

考试要求：

1、理解行列式概念，掌握行列式的常用计算方法；熟悉行列式与方程组、可逆矩阵、矩阵秩、二次型、特征值等的关系。

2、理解线性方程组解的求法、判定与结构，掌握含参数线性方程组的讨论与求解，理解齐次方程组的基础解系或解空间与系数矩阵秩的关系。

（三）矩阵，20分

考试内容：

矩阵的运算、矩阵的秩与矩阵的分解、分块矩阵及其初等变换的应用。

考试要求：

1、掌握矩阵的各种运算、矩阵的秩、可逆矩阵。

2、理解初等矩阵与初等变换的关系、分块矩阵及其应用，了解矩阵分解。

3、掌握重要知识点联系及其逆否命题：

元齐次方程组有非零解的列向量组线性相关方阵不可逆方阵含有零特征值，等等。

（四）二次型，20分

考试内容：

标准形与规范形、正定问题。

考试要求：

1、掌握化二次型为标准形或规范形的方法、正定问题的判定与证明。

2、了解合同、负定、半正定的概念。

（五）线性空间，20分

考试内容：

向量组的线性相关性、基、维数和坐标、子空间的和与直和。

考试要求：

1、了解线性空间的概念、性质以及同构思想。

2、理解向量组线性无关的常规证法，基与维数的求法与证明。

3、掌握子空间直和的证明。

（六）线性变换，20分

考试内容：

线性变换的概念、线性变换的矩阵、相似、特征值特征向量与对角化、值域、核与不变子空间。

考试要求：

1、了解线性变换与方阵的同构对应关系。

2、理解线性变换、值域与核、不变子空间的概念。

3、会求线性变换在基下的矩阵，熟悉相似的概念与性质。

4、掌握特征值与特征向量的求法与证明，对角化问题的判别与讨论；区别线性变换与方阵的特征向量、对角化问题。

（七）Jordan标准形，10分

考试内容：

最小多项式、Jordan标准形。

考试要求：

1、了解不变因子、初等因子的求法以及与矩阵相似的关系。

2、理解最小多项式的概念与基本性质，掌握最小多项式、Jordan标准形的求法与应用。

（八）欧氏空间，20分

考试内容：

内积与标准正交基、正交变换和对称变换。

考试要求：

1、了解欧氏空间、正交补的概念，理解标准正交基的性质及其求法。

2、理解正交变换和对称变换的主要特征及相关证明，

3、掌握实对称矩阵的正交相似对角化的计算，利用实对称矩阵性质进一步讨论正定问题。

 

五、主要参考书目

（一）王萼芳，石生明主编：《高等代数》（第四版），高等教育出版社，2013版。

（二）徐仲等主编：《高等代数导教导学导考》，西北工业大学出版社，2004版。

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